### Вопрос А: Границы количества золотых монет

Давайте обозначим количество золотых монет как $G$, а серебряных — как $S$.
Всего монет: $G + S = 100$.

Анализ условия 1:
"Если взять любые 30 монет, среди них обязательно будет хотя бы одна золотая".
Это означает, что если мы возьмем *все* серебряные монеты и добавим к ним еще одну, то мы гарантированно попадем на золотую. Иначе говоря, если бы серебряных монет было 30 или больше, то можно было бы выбрать 30 монет, состоящих исключительно из серебряных (нарушив условие).
Следовательно, количество серебряных монет должно быть строго меньше 30:
$$S < 30 \implies S \le 29$$
Отсюда минимальное количество золотых монет:
$$G = 100 - S \ge 100 - 29 = 71$$

Анализ условия 2:
"Если взять любые 75 монет, среди них обязательно будет хотя бы одна серебряная".
Аналогично, если бы золотых монет было 75 или больше, можно было бы выбрать 75 золотых монет (нарушив условие, так как среди них не было бы ни одной серебряной).
Следовательно, количество золотых монет должно быть строго меньше 75:
$$G < 75 \implies G \le 74$$
Отсюда максимальное количество золотых монет:
$$G \le 74$$

Вывод для А:
Минимальное количество золотых монет: 71.
Максимальное количество золотых монет: 74.

---

### Вопрос Б: Вероятность перекладывания монет

Условие: изначально золотых монет было минимально возможное количество.
Из пункта А это значит $G = 71$. Следовательно, серебряных $S = 29$.
Общее количество монет $N = 100$.
В другую банку переложили $n = 20$ монет.
Нам нужно найти вероятность того, что среди этих 20 монет ровно $k = 5$ будут золотыми.

Это классическая задача на гипергеометрическое распределение.
*   Всего исходов (способов выбрать 20 монет из 100): $C_{100}^{20}$
*   Благоприятных исходов (выбрать 5 золотых из 71 и 15 серебряных из 29): $C_{71}^{5} \cdot C_{29}^{15}$

Формула вероятности:
$$P = \frac{C_{71}^{5} \cdot C_{29}^{15}}{C_{100}^{20}}$$

Ответ для Б:
Точная дробь:
$$ \frac{\binom{71}{5} \binom{29}{15}}{\binom{100}{20}} $$

---

### Вопрос В: Разделение на кучки

Утверждение: Существует ли способ разложить все 100 монет в 7 кучек так, чтобы в каждой кучке было разное количество монет И в каждой кучке отношение золотых к серебряным было одинаковым?

Доказательство (Опровержение):

Пусть в $i$-й кучке $g_i$ золотых и $s_i$ серебряных монет.
Условие "отношение одинаковое" означает, что $g_i : s_i = g : s$, где $g$ и $s$ — общее количество золотых и серебряных монет во всей куче (банке).
Пусть это отношение в несократимом виде равно $x : y$ (где $\text{НОД}(x, y) = 1$).
Тогда в каждой кучке количество монет $c_i = g_i + s_i$ должно быть кратно $x + y$.
Обозначим $M = x + y$. Тогда $c_i = k_i \cdot M$, где $k_i$ — натуральные числа.

Так как во всех 7 кучках количество монет разное, числа $k_1, k_2, \dots, k_7$ также должны быть различны.
Сумма монет во всех кучках равна 100:
$$ \sum_{i=1}^{7} c_i = M \sum_{i=1}^{7} k_i = 100 $$
Это означает, что $M$ — делитель числа 100.
Минимальная сумма 7 различных натуральных чисел равна $1+2+3+4+5+6+7 = 28$.
Следовательно, $28 \cdot M \le 100 \implies M \le \lfloor \frac{100}{28} \rfloor = 3$.
Так как $x, y \ge 1$ (иначе в кучке не будет монет одного типа или обоих, что противоречит условию существования монет), $M = x+y \ge 2$.
Так как $M$ должно делить 100, возможные значения $M$: 1 или 2.
(Значение 3 не подходит, так как 3 не делит 100).

Рассмотрим возможные варианты:
1.  Если $M=1$: $x+y=1 \implies x=1, y=0$ или $x=0, y=1$. Это значит либо все монеты золотые, либо все серебряные. $G \in \{0, 100\}$.
2.  Если $M=2$: $x+y=2 \implies x=1, y=1$. Это значит $G:S = 1:1$, то есть $G = S = 50$.

Таким образом, для существования такого разбиения количество золотых монет $G$ должно быть равно 50 (или 0/100).
Однако, согласно условиям банка (Вопрос А), количество золотых монет $G$ находится в диапазоне $[71, 74]$.
Число 50 (и 0, и 100) не попадает в этот диапазон.
Следовательно, ни при каком допустимом $G$ из банка не удастся выполнить условие пропорциональности для 7 кучек с разным количеством монет.