Это классическая математическая задача на свойства делителей чисел.

### 1. Какие шкафчики останутся открытыми?
Открытыми останутся шкафчики с номерами, которые являются квадратами целых чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

---

### 2. Почему именно эти?
Давайте разберем логику:
*   Шкафчик меняет свое состояние (открывается или закрывается) каждый раз, когда к нему подходит студент, чей номер является делителем номера этого шкафчика.
*   Например, шкафчик №12 тронут студентами 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Всего 6 раз.
*   Если количество делителей четное, то шкафчик в итоге будет закрыт (открыли $\rightarrow$ закрыли $\rightarrow$ открыли $\rightarrow$ закрыли...).
*   Если количество делителей нечетное, то шкафчик в итоге будет открыт.

В чем секрет квадратов?
У большинства чисел делители ходят «парами». Например, для числа 12 это: $(1, 12), (2, 6), (3, 4)$. Поэтому их всегда четное количество.
Но у чисел-квадратов один из делителей перемножается сам на себя. Например, для числа 9 делители это: $(1, 9)$ и $3 \times 3$. Делитель 3 считается один раз. Список делителей числа 9: $\{1, 3, 9\}$. Всего 3 делителя (нечетное число).

Таким образом, только у «квадратных» чисел количество делителей нечетно, и только они останутся открытыми.

---

### 3. Сколько их будет?
Для 100 шкафчиков это все квадраты от $1^2$ до $10^2$.
Итого: 10 шкафчиков.

---

### 4. Если бы шкафчиков было 10 000, какой был бы последний открытый?
Последний открытый шкафчик — это самый большой квадрат целого числа, не превышающий 10 000.
Так как $100 \times 100 = 10\,000$, то последний открытый шкафчик будет под номером 10 000.

(image attached: /home/serv3090/.ccbot/images/1775248649_AQADVhVrGwhggUp8.jpg)